Full text of DOI:10.1002/1522-2640(200010)72:10<1216::AID-CITE1216>3.0.CO;2-W

Chemie Ingenieur Technik (72) 10 I 2000
S. 1216 ± 1220 ã WILEY-VCH Verlag GmbH, D-69469 Weinheim, 2000
1216 W I S S E N S C H A F T L I C H E K U R Z M I T T E I L U N G E N
0009-286X/2000/1010-1216 $17.50 +.50/0
selwirkung mit den Brùnsted-Zentren zu niederen Wellen-
zahlen verschoben wurde. Die Butadien-MolekuÈ le reagieren
dann uÈ ber Diels-Alder-Kondensation weiter zu Biphenylen.
Erstmals experimenteller Nachweis fuÈr
die Nichtexistenz langweitreichender
hydrophober AnziehungskraÈfte in
duÈnnen Benetzungsfilmen*
4 Schlussfolgerung
Unsere Ergebnisse zeigen, dass die einzelnen Butene an Si-
likalith nur physisorbiert wurden. An H-ZSM-5 entstand bei
Raumtemperatur zuerst eine Wasserstoff-BruÈ ckenbindung
zwischen 1-Buten und den stark sauren OH-Gruppen, da-
nach wurden die cis- und trans-2-Butene gebildet. Im wei-
teren Verlauf wurden diese dimerisiert, und es bildeten sich
Alkoxy-Spezies. 1-Buten wurde an H-FER bei Raumtempe-
ratur monomolekular adsorbiert, es bildeten sich ebenfalls
cis- und trans-2-Butene, allerdings wurde keine Dimerisie-
rung beobachtet. Bei 400 8C wurde an H-Ferrierit wahr-
scheinlich zuerst Butadien gebildet, welches zu Dialkyldi-
phenylen umgewandelt wurde.
K L A U S W E R N E R S T Ú C K E L H U B E R , H A N S J O A C H I M S C H U L Z E
U N D A N D R E A S
W E N G E R * *
1 Problemstellung
Zur ErklaÈrung zahlreicher KoagulationsphaÈnomene, bei de-
nen die klassische DLVO-Theorie versagt, werden soge-
nannte weitreichende hydrophobe AttraktionskraÈfte (LRHF)
postuliert. Ein bekanntes Beispiel dafuÈ r ist das Anhaften
von Feststoffteilchen an Gasblasen bei der Flotation. Bei
diesem Heterokoagulationsprozess, dessen entscheidender
Elementarvorgang das Ausflieûen und Zerreiûen des sich
zwischen Teilchen und Blase bildenden duÈ nnen FluÈ ssig-
keitsfilmes ist, sind in den meisten FaÈllen (wie z. B. im haÈufig
verwendeten Modellsystem Quarz/Wasser/Luft) sowohl die
elektrostatische als auch die van-der-Waals-Komponente
der WechselwirkungskraÈfte repulsiv. Deshalb sollten diese
duÈ nnen Filme stabil bleiben und ein Anhaften an die Gas-
blase verhindern. Das ist jedoch nicht der Fall, wenn die
TeilchenoberflaÈche vorher hydrophobisiert wurde. Um die-
sen Widerspruch zu uÈ berbruÈ cken, wird von zahlreichen Au-
toren in den letzten Jahren die Existenz der LRHF vermutet
[z. B. 1, 2]. In einer kuÈ rzlich erschienenen Arbeit von N I N H A M
[3] wird allerdings gezeigt, dass diese und zahlreiche andere
auf die LRHF zuruÈ ckgefuÈ hrte PhaÈnomene auf andere Weise
und in Einklang mit bestehenden physikalischen Vorstel-
lungen erklaÈrbar sind.
Die Arbeit wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft
innerhalb des Sonderforschungsbereichs 294 unterstuÈ tzt.
Eingegangen am 19. Juni 2000 [K 2736]
Literatur
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Wir koÈnnen nun erstmalig auch experimentell
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Spectrochim. Acta 41A (1985) S. 435.
zeigen, dass fuÈ r das Ausflieûen, die Destabilisierung und
das Zerreiûen solcher Benetzungsfilme auf hydrophoben
Silica-OberflaÈchen keinerlei langreichweitige hydrophobe
AnziehungskraÈfte verantwortlich sind. Im Gegenteil, das
DuÈ nnerwerden und Ausflieûen steht in vollen Einklang
mit der DLVO-Theorie und der bekannten Reynolds-Glei-
chung. UrsaÈchlich fuÈ r das Zerreiûen dieser duÈ nnen Filme
sind Nukleationsprozesse, die nicht durch irgendwelche
AnziehungskraÈfte gesteuert sind.
[6] S TE PAN OV, A . G.; LUZ GI N, M . V.; ROMANNIKOV, V. N.; SIDEL NI-
KOV, V. N.; PAUKSH TIS, E . A.
J. Catal. 178 (1998) S. 466.
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N A R O, U.; GUE R IC IO, A.; CATANI , R .; WIL LE Y, R .
J. Catal. 179 (1998) S. 581.
[8] HA LDEMAN, R . G.; BOT TY, M . C.
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Â
Ï
Ï
[9] WI CHT ERLOVA , B.; Z I LKOVA, N.; U VA R OVA, E .; CE J K A, J.; SA RV,
P.; PAG A N I NI, C.; LE RCH ER , J. A.
Appl. Catal. A182 (1999) S. 297.
2 Messprinzip und Versuchsaufbau
Voraussetzung fuÈ r den Nachweis der Nichtexistenz von
LRHF waÈhrend des FilmverduÈ nnungsprozesses bis zu sei-
ner kritischen Zerreiûdicke hcrit war die Erzeugung metasta-
biler Benetzungsfilme auf hydrophoben OberflaÈchen. FruÈ -
her wurde nachgewiesen, dass die HeterogenitaÈt der hydro-
phoben OberflaÈche einen dramatischen Einfluss auf die
..............................................................................................................
Vortrag anlaÈ sslich der Sitzung des GVC-
Fachausschusses GrenzflaÈ chen, 23./24. MaÈ rz
2000 in Berlin.
*
Dr. rer. nat. K. W. ST ÚCKELHUBER , Dr. sc. nat.
H. J. S CHU LZE , Dipl.-Chem. A . WE NG E R,
Arbeitsgruppe Kolloide & GrenzflaÈ chen,
Institut fuÈ r Silikattechnik, TU Bergakademie
Freiberg.
**

Chemie Ingenieur Technik (72) 10 I 2000
B e n e t z u n g s f i l m e 1217
Abbildung 1.
20 Á 20 mm) verwendet, deren Rauhig-
keit geringer als 2 nm ist. Ihre Reini-
gung erfolgt durch Erhitzen in 70/30
H2SO4/H2O2-Mischung mit anschlie-
ûendem langen SpuÈ len in flieûendem
MILLI-Q/Plus Wasser.
Schema der mikrointerferometrischen Messapparatur
(Derjaguin-Scheludko-film-balance).
3 Ergebnisse
Zur Kontrolle der Sauberkeit der hy-
drophilen OberflaÈche, der GuÈ ltigkeit
der Reynolds-Gleichung sowie der
Richtigkeit der gewaÈhlten Parameter
Ladung, Potential und Hamaker-Kon-
stante in der DLVO-Theorie wurden
als erstes Gleichgewichtsfilme bei voll-
staÈndiger Benetzung auf unmethylier-
tem Glas gemessen. Deren Gleichge-
wichtsdicke wird bekanntlich allein
durch elektrostatische Doppelschicht-
und durch van der Waals'sche -AbstoûungskraÈfte hervor-
gerufen [5, S. 100]. GemaÈû DLVO-Theorie treten letztere
jedoch erst bei sehr hohen IonenstaÈrken auf und haben bei-
spielsweise eine Reichweite von etwa 10 nm.
Die Ausflusskinetik und die kritische Zerreiûdicke auf hy-
drophoben OberflaÈchen wurden in 10-3 molarer KCl-LoÈsung
gemessen. Der van der Waals-Anteil spielt wegen seiner
kurzen Reichweite hier keine Rolle.
Filmlebensdauer und hcrit haben [4]: je groÈûer die Heteroge-
nitaÈt ist, um so kuÈ rzer ist die Lebensdauer und um so groÈûer
ist hcrit. Es musste deshalb ein Weg gefunden werden, beson-
ders homogene hydrophobe OberflaÈchen zu erzeugen. Das
gelang uns durch Gasphasenmethylierung der Silanolgrup-
pen der GlasoberflaÈche mit Hilfe von Hexamethyldisilazan
(HMDS). Durch unterschiedliche Reaktionszeiten koÈnnen
Hydrophobiegrade mit Randwinkeln zwischen 208 und 908
eingestellt werden.
Auf solchen modifizierten OberflaÈchen werden
3.1 Stabile Gleichgewichtsfilme
mikroskopische Benetzungsfilme (Durchmesser 100 bis
250 Mikrometer) nach der bekannten Methode von D ER J A -
GUI N und S CH EL UD KO erzeugt (D-S-film-balance). Sie ist oft
beschrieben worden, z. B. in [5, S. 94] und schematisch in
Abb. 1 dargestellt. Die Dickenmessung als Funktion der
Zeit erfolgt dabei mikrointerferometrisch bei der Lichtwel-
lenlaÈnge von 470 nm.
In Abb. 2 sind der Mittelwert und die Standardabweichun-
gen einiger experimentell ermittelter Ausflusskurven fuÈ r
einen stabilen, planparallelen (Dimple-freien) Film gezeigt.
Der Mittelwert des Filmradius betrug bei allen Experimen-
ten RF = 90 +/- 15 lm.
Die theoretische Ausflusskurve wird durch nume-
rische LoÈsung der Reynolds-Gleichung berechnet. Sie deckt
sich innerhalb der Fehlergrenzen exakt mit der experimen-
tell bestimmten Ausflusskurve. In der theoretischen Kurve
wird der elektrostatische Spaltdruck-Term nach der kon-
stante Ladung/konstantes Potential-NaÈherung von K A R et al.
[7] ausgewertet, weil auf Grund sowohl umfangreicher fruÈ -
herer eigener Messungen [5] als auch von Literaturdaten
[8, 9] Ladung und Potential in 10-3 molarer KCl-LoÈsung
bei neutralem pH-Wert bekannt sind:
Indem die Filmbildung erst bei einem Abstand
zwischen angepresster Blase und duÈ nnem PlaÈttchen von
weniger als 150 nm eingeleitet wurde, gelingt es, planparal-
lele Filme ohne Dimple in der Mitte herzustellen, fuÈ r deren
Ausflusskinetik die hydrodynamische Gleichung aus der
Schmierungstheorie nach R E Y N O LD S ohne EinschraÈnkungen
angewendet werden kann. Sie lautet dann [6]:
1
h2
1
h02
4
3
Pr PÆ ꢀhꢀt††
g R2F
ˆ
n
t
ꢀ1†
±
±
Ladung der GlasoberflaÈche r2 = ±1 mC/m2
Potential der Gasblase W1 = ±35 mV
Darin sind: h0 die Anfangsdicke bei t = 0; n ein
Der repulsive van der Waals-Term des Spaltdruk-
Faktor fuÈ r die Randbedingungen der StroÈmung im Film
(n = 4 bei einer StroÈmung zwischen einer festen Wand mit
Wandhaftung und einer voÈllig mobilen, adsorptionsfreien
FluÈ ssig/Gas-GrenzflaÈche); g ist die FluidviskositaÈt. Der
Kapillardruck Pr in der Gasblase wird separat gemessen
und betraÈgt bei unseren Experimenten konstant 250 Pa.
PR ist der Spaltdruck, der sich additiv aus dem elektrostati-
schen (Pel) und dem van-der-Waals'schen Anteil PvdW zu-
sammensetzt.
kes wird mit einer zusammengesetzten Hamaker-Konstante
fuÈ r den Benetzungsfilm von Aslv = ±1,0 Á 10-20 J berechnet
[10]. Die Gleichungen fuÈ r den Spaltdruck lauten:
Aslv
6 p h3
PvdW
ˆ
ꢀ2†
ꢂ
ꢀ
ꢁ
1
2
r22
Pel
ˆ
j
e0 e j W21
e0 e j
ꢃ
1
sinh ꢀj h†
Als Substrat werden Mikroskopie-DeckglaÈschen
2 jW1 r2
ꢀ3†
cosh2 ꢀj h†
cosh2 ꢀj h†
aus Alkali-Kalk-Floating-Glas (Marienfeld Superior No.1

Chemie Ingenieur Technik (72) 10 I 2000
1218 W I S S E N S C H A F T L I C H E K U R Z M I T T E I L U N G E N
Abbildung 2.
Es ist somit ersichtlich, dass
fuÈ r die Ausflusskinetik sowohl auf hy-
drophilen als auch auf hydrophoben
OberflaÈchen dasselbe Ausflussgesetz
guÈ ltig ist. WuÈ rde demnach der Film
nicht zufaÈllig zerreiûen, dann koÈnnte
er sich bis zu seiner durch die DLVO-
Theorie vollstaÈndig beschriebenen
Gleichgewichtsdicke verduÈ nnen, die
im speziellen Beispiel bei 34 nm laÈge.
Da in der DLVO-Theorie keinerlei An-
nahmen uÈ ber zusaÈtzliche Anziehungs-
kraÈfte gemacht worden sind, ist der Ka-
pillardruck in der Gasblase die einzige
Triebkraft, durch welche sich der Film
verduÈ nnt.
Experimentelle Ausflusskurven duÈ nner Benetzungsfilme (Gleichgewichts-
und instabile Filme) heq(DLVO): Gleichgewichtsdicke nach der DLVO-Theorie;
experimentelle Punkte: Zerreiûdicken hcrit fuÈ r Randwinkel HA = 208, 588, 908;
durchgezogene Linie: theoretische Ausflusskurve nach RE YNO LD S fuÈ r RF =
90 Æ 15 lm; Insert: Ausflieûverhalten eines stabilen Benetzungsfilms auf hydro-
philem Substrat; Messpunkte und Kurve nach Reynolds-Gleichung (deckungs-
gleich mit theoretischer Kurve).
Allerdings muss an dieser
Stelle noch die Frage beantwortet wer-
den, ob sich infolge der Hydrophobie-
rung der OberflaÈche die fuÈ r die Wech-
selwirkungskraÈfte verantwortlichen Po-
tentiale, Ladungen bzw. Hamaker-Kon-
stante aÈndern. Aus der Literatur ist
schon seit langer Zeit bekannt, dass
dies nicht der Fall ist. In [11] wurde bei-
spielsweise nachgewiesen, dass das Potential methylierter
SilicaoberflaÈchen unveraÈndert bleibt, in [12] wurde gezeigt,
dass Aslv bei Dicken groÈûer 20 nm sein Vorzeichen nicht aÈn-
dert [5, S. 89]. FuÈ r die Ladung der GlasoberflaÈche wird ein
etwas niedrigerer Wert verwendet als fuÈ r die hydrophile
QuarzoberflaÈche, wegen der geringeren Zahl von Hydroxyl-
gruppen infolge deren Reaktion mit Methylgruppen und der
teilweisen Ladungskompensation durch mehrwertige Ka-
tionen im Glas.
Hierin sind: j der Debye-HuÈ ckel-Parameter, e0 die
absolute DielektrizitaÈtskonstante, e die relative Dielektrizi-
taÈtskonstante und h die Filmdicke.
Abb. 3 zeigt solche Spaltdruckisothermen fuÈ r das
untersuchte System. Danach existiert im Gleichgewicht mit
dem Kapillardruck ein stabiler Benetzungsfilm mit der auch
experimentell bestaÈtigten Gleichgewichtsdicke von 34 nm.
Die gewaÈhlten Parameter fuÈ r die Anwendbarkeit der
DLVO-Theorie sind somit korrekt.
Um zu demonstrieren, dass das Zerreiûen des
duÈ nnen Benetzungsfilms statistisch verteilt ist, aber in
AbhaÈngigkeit vom Hydrophobiegrad (bei unveraÈndert
konstanter HomogenitaÈt der OberflaÈche) erfolgt, sind in
3.2 Instabile Benetzungsfilme
Durch Hydrophobieren der OberflaÈche aÈndern sich die Ei-
genschaften eines Benetzungsfilmes bekanntlich drama-
tisch: Er wird instabil, zerreiût waÈhrend seines DuÈ nnerwer-
dens bei einer kritischen Dicke und zerfaÈllt bei Entnetzung
der OberflaÈche in einzelne TroÈpfchen.
Abbildung 3.
Theoretische Spaltdruckisothermen nach der DLVO-Theorie;
Ladung der GlasoberflaÈche r2 = ±1 mC/m2; Potential der
Gasblase w = ±35 mV, Aslv = ±1,0 Á 10-20 J, Debye-LaÈnge
1/j = 9,6 nm.
In Abb. 2 sind nun auch diese hcrit-Werte metasta-
biler Filme bei unterschiedlichen Hydrophobierungsgra-
den, gekennzeichnet durch 3 verschiedene VorruÈ ckrand-
winkel 208, 588 und 908 eingetragen.
Die beiden wichtigsten neuen Beobachtungser-
gebnisse sind:
1. Der duÈ nne Benetzungsfilm zerreiût statistisch verteilt
bei unterschiedlichen Dicken; hcrit ist am groÈûten, je
kuÈ rzer die Lebensdauer des Films ist, sie ist jedoch
am kleinsten und naÈhert sich Werten der Gleichge-
wichtsdicke stabiler Filme, je laÈnger die Lebensdauer
wird. Als Lebensdauer wird dabei die Zeit definiert,
die bei seinem Ausflieûen zwischen der Anfangsdicke
h0 und hcrit vergeht.
2. Alle Messwerte ordnen sich unabhaÈngig von der ZufaÈl-
ligkeit des Einzelereignisses entlang der hydrodynami-
schen Ausflusskurve nach R E Y N O LD S an.

Chemie Ingenieur Technik (72) 10 I 2000
B e n e t z u n g s f i l m e 1219
Abbildung 4.
Abbildung 5a.
Lebensdauerverteilung instabiler Benetzungsfilme auf hy-
drophoben OberflaÈchen mit HA = 208, 588, 908.
Kritische Relationen fuÈ r rcrit/hcrit bei verschiedener Hydro-
phobie.
Abb. 4 Lebensdauerverteilungen als Funktion des Rand-
winkels angegeben. Der wesentliche Einfluss der Hydro-
phobierung besteht danach darin, dass mit zunehmender
Hydrophobie die Lebensdauer verkuÈ rzt wird.
Daraus kann man ableiten:
Diese Beobachtung kann mit Hilfe einer rein ther-
modynamischen Theorie von SH A R MA und R UC K E N STE IN [13]
erklaÈrt werden, die wir auf das vorliegende Problem anwen-
den. Sie enthaÈlt keinerlei Voraussetzungen uÈ ber die Natur
der WechselwirkungskraÈfte und uÈ ber den Mechanismus,
der zum Zerreiûen des Filmes fuÈ hrt. Danach koÈnnen sich zu-
faÈllig entstehende LoÈcher im Film nur dann irreversibel er-
weitern, wenn die Úffnung des Loches mit Energiegewinn
verbunden ist. Es gibt somit einen vom Grad der Hydropho-
bie (Randwinkel) und von der Filmdicke abhaÈngigen kriti-
schen Lochradius r1 = rcrit, bei dem sich das Loch oÈffnet
(s. Abb. 5).
±
±
Der kritische Lochradius muss um so groÈûer sein, je ge-
ringer die Hydrophobie (je kleiner der Randwinkel) ist,
damit das Loch offen bleibt und der Benetzungsfilm in-
stabil wird. Beispielsweise muss bei einem Randwinkel
von nur 108 und einer Filmdicke von 34 nm der kritische
Lochradius mindestens 400 nm betragen.
Umgekehrt reichen bei groûer Hydrophobie bereits sehr
kleine rcrit aus, um den Film zu destabilisieren. Diese be-
tragen je nach Randwinkel zwischen 50 und 150 nm.
Die berechnete Verteilung der kritischen Lochradien ist in
Abb. 6 gezeigt. Sie erklaÈrt, weshalb schon bei sehr kurzer
Filmlebensdauer und bei groÈûeren Dicken zwischen 50
und 100 nm eine HaÈufung des Zerreiûens beobachtet
wird. Die fuÈ r die Destabilisierung erforderlichen kritischen
Radien sind naÈmlich hier sehr klein. Es ist deshalb zu erwar-
ten, dass solche kleinen LoÈcher viel haÈufiger in Erscheinung
treten als groÈûere LoÈcher. Umgekehrt ist, wie beobachtet, die
Zerreiûdicke dann besonders niedrig, wenn sich der Film
ungehindert verduÈ nnen kann bis zu dem Augenblick, wo zu-
faÈllig ein groûes Loch mit kritischen
Zu jeder von uns gemessenen kritischen Zerreiû-
dicke laÈsst sich somit ein kritischer Lochradius zuordnen.
Dieser berechnet sich aus:
ꢀ
ꢁ
2
2
hcrit
ꢀ1 cos H†
2 hcrit
r1 sin H
ˆ 1 ‡
exp
ꢀ4†
sin2
H
r1 sin H
Abmessungen im Bereich von einigen
Abbildung 5.
100 nm entsteht. Zum Verdeutlichen
Thermodynamische Analyse der Lochbildung in einem duÈ nnen Benetzungsfilm
auf hydrophober OberflaÈche nach SHARMA und RUCKENSTEIN [13].
dieses Sachverhaltes ist in Abb. 5a
die tatsaÈchliche Relation zwischen
Filmdicke und rcrit fuÈ r die 3 untersuch-
ten Randwinkel gezeigt. Danach muss
bei H = 908 nur ein kritischer Lochra-
dius von 1,6 hcrit auftreten, bei einem
Randwinkel von 208 aber von minde-
stens 5,8 hcrit, damit Destabilisierung
eintritt.

Chemie Ingenieur Technik (72) 10 I 2000
1220 W I S S E N S C H A F T L I C H E K U R Z M I T T E I L U N G E N
Abbildung 6.
Untersuchungen an ver-
schiedenartigen hydrophoben OberflaÈ-
chen mit verschiedenen Gasen mit Hilfe
der AFM-Technik [15] stuÈ tzen diese
Vermutung und sind starke Indizien
fuÈ r die Existenz von Nanoblasen.
Verteilungsfunktionen der kritischen Lochradien bei unterschiedlicher Hydro-
phobie der OberflaÈche (HA = 208, 588, 908).
Wir danken der Deutschen Forschungs-
gemeinschaft fuÈ r die FoÈrderung der Ar-
beit im Sonderforschungsbereich 285
¹Partikelwechselwirkung in Systemen
der Mechanischen Verfahrenstechnikª.
Eingegangen am 19. Mai 2000 [K 2723]
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4 Bedeutung der Ergebnisse
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Advanc. Coll. Interf. Sci. 83 (1999) S. 1.
Wenn keine LRHF vorhanden sind, kann das Zerreiûen des
waÈssrigen Benetzungsfilmes auf einer hydrophoben Ober-
flaÈche nicht durch wachsende Kapillarwellen erfolgen. Die-
ser Fluktuations-Mechanismus, der zuerst von D E R J AGU IN,
SC H E LU D KO, V RI J u. a. entwickelt wurde [6], diente bisher
zur ErklaÈrung der Entnetzung und damit auch des Anhaf-
tens bei der Flotation. Er setzt jedoch die Existenz irgendei-
ner Attraktionskraft voraus, damit die OberflaÈchenkapillar-
wellen uÈ berhaupt anwachsen koÈnnen und Amplituden er-
reichen, die viel groÈûer als ihre thermischen Amplituden
(MANDELSTAM-Fluktuationen) sind.
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Da solche AttraktionskraÈfte im vorliegenden Sy-
stem nicht vorhanden sind, muss fuÈ r das Zerreiûen der
von uns untersuchten Benetzungsfilme der bereits von D ER -
JAGU IN und GUTOP postulierte Nukleationsmechanismus ver-
antwortlich sein. Er setzt nur eine ausreichend hydrophobe,
moÈglichst heterogene OberflaÈche voraus, keine irgendwie
gearteten AttraktionskraÈfte [14].
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nismen der Nukleation sein moÈgen, Dichteschwankungen
im Fluid oder Nanogasblasenbildung, endguÈ ltige Klarheit
besteht daruÈ ber noch nicht, immer ist sie mit der irreversi-
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des Loches fuÈ hren, dann laÈge deren GroÈûe im Bereich der
experimentellen Filmzerreiûdicken zwischen 20 und
150 nm. Die Koaleszens dieser Nanoblasen mit der fluiden
Phasengrenze der freien FilmoberflaÈche waÈre dann der
fuÈ r die Destabilisierung des metastabilen Benetzungsfilmes
verantwortliche Prozess. Diese wuÈ rde dem Beobachter die
Wirkung einer Kraft vortaÈuschen, deren Reichweite den
Abmessungen der Nanoblasen, also der kritischen Dicke
des Films entspraÈche.
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