Full text of DOI:10.1002/1522-2640(200007)72:7<708::AID-CITE708>3.0.CO;2-W

Chemie Ingenieur Technik (72) 7 I 2000
S. 708 ± 713 ã WILEY-VCH Verlag GmbH, D-69469 Weinheim, 2000
708 W I S S E N S C H A F T L I C H E K U R Z M I T T E I L U N G E N
0009-286X/2000/0707-0708 $17.50 +.50/0
[4] KR US E , M .; HARTGE , E .-U.; W ERTH ER, J.
Horizontale Gasvermischung in zirkulierenden
Wirbelschichten, Chem.-Ing.-Tech. 64 (1992) 4, S.
372/373.
WaÈrme- und Impulstransport bei
einem praÈparativen, kontinuierlichen,
annularen Chromatographen (P-CAC)*
[5] DANSI ; FENANI
Expansion Behaviour of Confihed Fluidized Beds in
Fine Particles, Canad. J. Chem. Eng. 67 (1989) 4.
[6] CH EN, I . L.-P.
J Ú R G B R O Z I O U N D H A N S - J Ú R G
B A R T * *
A Theoretical Model for Particle Segregation in a
Fluidized Bed due to Size Difference, Chem. Eng.
Commun. 9 (1983) S. 303/320.
Herrn Professor Dr. Ing. H E N N E R SC H M I D T- T R AU B zum
60. Geburtstag
[7] WE HNE R , J.; K IL IA N, R .
Zirkulierende Wirbelschicht, Vortrag zur Jahresta-
gung Verfahrenstechnik und Verarbeitungstechnik,
Merseburg 1986.
1 Problemstellung
[8] M O L ER US, O.
Annulare Chromatographie-Apparate ermoÈglichen es, meh-
rere Substanzen, d. h. mehr als zwei, gleichzeitig und konti-
nuierlich voneinander zu trennen. Der rotierende Ringspalt
des annularen Chromatographen kann dabei entsprechend
des jeweiligen Trennproblems mit beliebigen stationaÈren
Phasen befuÈ llt werden. Bei einer stationaÈren, kontinuierli-
chen Feedaufgabe der zu trennenden Komponenten in
einem kleinen Bereich am Kopf des Apparates werden sta-
tionaÈre Austrittswinkel am Boden erhalten, an denen das je-
weilige Produkt abgezogen werden kann (s. Abb. 1).
Je nach Anwendungsfall kann es sinnvoll sein,
Fluid-Feststoff-StroÈmungen, Springer-Verlag, Hei-
delberg 1982.
[9] WE RTHE R , J.
Mathematische Modellierung von Wirbelschichtre-
aktoren, Chem.-Ing.-Tech. 50 (1978) 11, S. 850/860.
[10] HI LL IGARDT, K .; WE RTHE R , J.
Lokaler Blasengasholdup und Expansionsverhal-
ten von Gas/Feststoff-Wirbelschichten, Chem.-
Ing.-Tech. 57 (1985) 7, MS 1377/85.
[11] KA W A SE, Y.; M O O-YOUNG, M .
Gas-Bubble Hold-up and Axial Dispersion Coeffi-
zient of Emulsion Phases in Fluidized Beds, Canad.
J. Chem. Eng. 65 (1987) 6, S. 87.
den annularen Chromatographen und/oder Feed und Elu-
enten zu temperieren. Dies kann zum Beispiel bei Zucker-
trennungen zur Vermeidung von Pilzbefall oder beim Be-
trieb als chromatographischer Reaktor zur Beschleunigung
der Reaktion der Fall sein.
[12] P E M BE RTON, S. T.; DAVID SON, J. F.
Elutriation from Fluidized Beds ± I. Particle Ejecti-
on from the DENSE Phase into the Freeboard,
Chem. Eng. Sci. 41 (1986) 2, S. 243/251.
[13] LE VY, E. K.; C HEN, H . K .; R A D C L I F F, R.; C AR AM, H. S.
Analysis of Gas Flow Through Eription Bubbles in
a Gas-Fluidized Bed, Powder Technol. 54 (1988) S.
45/57.
Bei der Temperierung einer Wand des Apparates
± wie zur Zeit uÈ blich von innen ± kommt es dabei zu einem
radialen Temperaturgradienten innerhalb der SchuÈ ttung.
Aufgrund der TemperaturabhaÈngigkeit der ViskositaÈt, vor
allem bei hoch viskosen Blutsera und ZuckerloÈsungen, er-
gibt sich aus dem Gradienten eine sich uÈ ber den Radius ver-
aÈndernde StroÈmungsgeschwindigkeit, was zu einer ver-
schlechterten Trennung fuÈ hrt.
[14] P E M BE RTON, S. T.; DAVID SON, J. F.
Elutriation from Fluidized Beds ± II. Disengage-
ment of Particles from Gas in the Freeboard, Chem.
Eng. Sci. 41 (1986) 2, S. 253/262.
[15] GELDART, D.; C ULL IN, I.; GEORGHIA DES, S.; GILVRAY, D.; POPE ,
D. J.
The Effect of Fines on Entrainment from Gas Flui-
dized Beds, Trans I ChemE (1979) S. 269/275.
Das Ziel der Arbeit ist es, diesen Effekt durch eine
[16] DELA SA, H. I .; G R AC E, I. R .
Simulation des gekoppelten Temperatur- und Geschwindig-
keitsfeldes zu quantifizieren. In einem zweiten Schritt wer-
den die dadurch hervorgerufenen Peakverbreiterungen mit
denjenigen verglichen, die durch StoffuÈ bergangseffekte ver-
ursacht werden. Als praktischer Nutzen ergeben sich daraus
Hinweise uÈ ber die Notwendigkeit einer zusaÈtzlichen Isolie-
rung des Apparates sowie einer Vorheizung des Feeds und
des Eluenten. Im Folgenden wird als Beispielsubstanz eine
waÈssrige Saccharose-LoÈsung mit einer Konzentration von
200 g/l verwendet.
The Influence of the Freeboard Region in a Fluidi-
zed Bed Catalytic Regenerator, AIChE J. (1979) 6, S.
984/991.
[17] DEMMICH , J.
Zirkulierende Wirbelschicht-Mechanismus des
Feststoffaustrages aus Wirbelschichten, Chem.-
Ing.-Tech. 56 (1984) 3, MS 1201/84.
[18] KWAUK , M .; K UN I I, D.
Fluidization, Science and Technology, Science
Press, Beijing, China, 1982.
[19] WE HNE R , J.; K IL IA N, R .
Der Splash-Zonenofen ± Umsatz in der Wirbel-
schicht, Vortrag VDI-GET-Fachtagung, 18./19. Feb.
1997 in Berlin.
[20] Z EN S, F. A.
Bulk Solids Efflux Capacity in Flooded and Strea-
ming Gravity Flow, Proceed. Internat. Fluidization
Conference, California 1975, S. 15/20.
..............................................................................................................
Vortrag anlaÈ sslich des DECHEMA/GVC-
Ausschussesª Adsorptionº, 6./7. Mai 1999 in
MuÈ nster.
*
Dipl.-Ing. J. B R OZ I O (Vortragender), Prof. Dipl.-
Ing. Dr. techn. H.-J. BART, Lehrstuhl fuÈ r Ther-
mische Verfahrenstechnik, UniversitaÈ t Kai-
serslautern, Gottlieb-Daimler-Straûe,
D-67663 Kaiserslautern.
**

Chemie Ingenieur Technik (72) 7 I 2000
C h r o m a t o g r a p h e n 709
Anzeige

Chemie Ingenieur Technik (72) 7 I 2000
710 W I S S E N S C H A F T L I C H E K U R Z M I T T E I L U N G E N
Abbildung 1.
Das Prinzip der annularen Chromatographie.
q C
q h
q q
q h
q C
q z
x e
‡ x ꢀ1 e†
q q
‡ u0
ˆ 0
ꢀ5†
ꢀ6†
x ꢀ1 e†
ˆ k0 a ꢀC CÆ
q h
wobei das Adsorptionsgleichgewicht im hier betrachteten li-
nearen Fall durch Gl. (7) beschrieben wird:
q ˆ Kads CÃ
ꢀ7†
2.2 Simulationsverfahren
Mit der Simulationssoftware MATLAB wird ausgehend von
den genannten Modellgleichungen das Druck- und Tempe-
raturfeld in einem annularen Chromatographen berechnet.
Bei diesem tritt die FluÈ ssigkeit von oben mit der Temperatur
Tein und dem Ûberdruck pein ein. Der innere Zylinder wird
mit einer konstanten Temperatur Ti beheizt, und am aÈuûe-
ren Zylinder treten WaÈrmeverluste in AbhaÈngigkeit der
Temperaturdifferenz zur Umgebung und des WaÈrmedurch-
gangskoeffizienten K auf.
2 Modellierung und Simulations-
verfahren
2.1 Modellierung
Die Massenbilanz wird von Impuls- und Energie-
bilanz entkoppelt betrachtet. Impuls- und WaÈrmebilanz
werden gemeinsam (gekoppelt) als erstes berechnet, wobei
das partielle Differentialgleichungssystem mittels zentraler
finiter Differenzen in radialer Richtung diskretisiert wird.
Die Auswirkung des so berechneten Geschwindigkeitspro-
fils auf die Form eines Konzentrationspeaks im annularen
Chromatographen wird fuÈ r den idealen Fall (VernachlaÈssi-
gung des StoffuÈ bergangswiderstandes) durch folgende Glei-
chung ermittelt:
Zur Modellierung des WaÈrmetransportes in der poroÈsen
SchuÈ ttung wird folgender Ansatz verwendet (Gln. (1) und
(2))1):
ꢀ
ꢁ
1
q
q T
q r
q T
q z
kr ꢀr† r
ˆ u0 ꢀr† qf cp;f
ꢀ1†
r q r
1
8
kr ˆ kbed
‡
u0 ꢀr† dp cp;f qf
ꢀ2†
Dieser Ansatz beschreibt den zweidimensionalen
h x ꢀe ‡ ꢀ1 e† Kads
u0 ꢀr†
†
hel ꢀr† ˆ
‡ hein
ꢀ8†
WaÈrmetransport in einer zylindrischen Geometrie und ent-
haÈlt eine radial veraÈnderliche, radiale WaÈrmeleitfaÈhigkeit
kr(r). Die Korrelation zur Beschreibung des radialen WaÈrme-
uÈ bergangskoeffizienten (Gl. (2)) setzt sich aus einem Anteil
fuÈ r die nicht durchstroÈmte SchuÈ ttung kbed und einem stroÈ-
mungsabhaÈngigen Anteil zusammen. Der stroÈmungsabhaÈn-
gige Term laÈsst sich analytisch ausgehend vom FlechtstroÈ-
mungsmodell ableiten [3] und wurde von T SOTSA S /WI NTER -
B E R G experimentell fuÈ r den Bereich der KernstroÈmung veri-
fiziert [2]. Die RuhebettleitfaÈhigkeit kbed wird entsprechend
der vorliegenden GesamtporositaÈt als Mittelwert aus der
WaÈrmeleitfaÈhigkeit des Harzes und des umgebenden Fluids
berechnet. Der Impulstransport wird durch die eindimen-
sionale Druckverlustgleichung nach KO Z E N Y-CA R M A N be-
schrieben:
Diese Gleichung laÈsst sich mit Hilfe der Analogie
zwischen annularer Chromatographie und Batch-Chroma-
tographie [6] aus der Wanderungsgeschwindigkeit einer
Konzentrationsfront bei linearer Adsorptionsisotherme ab-
leiten. Bei BeruÈ cksichtigung des StoffuÈ berganges von der
fluÈ ssigen zur stationaÈren Phase wird die analytische LoÈsung
nach C A RTA [7] in Verbindung mit der oben genannten Ana-
logiebetrachtung angewandt.
3 Ergebnisse
3.1 Modellparameter
Bei den im Folgenden dargestellten Rechnungen wurden die
Geometriedaten eines kommerziellen P-CAC-Chromato-
graphen (PRIOR SEPARATION TECHNOLOGY GMBH, A-GoÈt-
zis) verwendet. Die Spaltbreite betraÈgt 1 cm bei einer effek-
tiven HoÈhe von 60 cm. Der Druckverlust wurde zu 0,7 bar
festgelegt, woraus sich dann nach DurchfuÈ hrung der Simu-
lationen der Gesamtvolumenstrom berechnen laÈsst. Dieser
variiert je nach den gewaÈhlten Bedingungen zwischen 37
und 39 ml/min.
2
q p
q z
ꢀ1 e† u0 ꢀr† qf vf ꢀT†
ˆ
k
ꢀ4†
e3
dp2
wobei der Reibungskoeffizient k von D UR S T [4] fuÈ r sphaÈri-
sche Partikel experimentell zu 182 bestimmt wurde.
Die Temperatur- und KonzentrationsabhaÈngig-
keit der dynamischen ViskosiaÈt des stroÈmenden Mediums
wird mittels eines exponentiellen Ansatzes beschrieben
[5]. Die Ausbildung der Konzentrationsprofile wird durch
folgende Massenbilanzen berechnet:
Die verwendeten Stoffdaten der ZuckerloÈsungen
wurden aus Literaturdaten [1, 5, 8, 9] entnommen, und die
ViskostitaÈt wurde experimentell mittels eines Ubbelohde-
Kapillar-Viskosimeters bestimmt. Die benoÈtigten Parameter
zur Beschreibung der Trennung wurden fuÈ r das Ionenaus-
..............................................................................................................
1) Eine Zusammenstellung der Formelzeichen
befindet sich am Schluss des Beitrags.

Chemie Ingenieur Technik (72) 7 I 2000
C h r o m a t o g r a p h e n 711
Tabelle 1.
Abbildung 2.
Stoffdaten und andere Modellparameter.
Radiales Geschwindigkeits- und Temperaturprofil einer Sac-
charose-LoÈ sung bei verschiedenen Eintrittstemperaturen.
GroÈ ûe
Einheit
Wert
kf
[W m-1 K-1
]
0,572
3760
cp,f
qf
[J kg-1 K-1
[kg m-3
]
]
1064
ks
[W m-1 K-1
[W m-2 K-1
[m]
]
]
0,16
K
21
dp
e
4,1 Á 10-5
0,37
[ - ]
et
[ - ]
0,685
0,136
1,967 Á 10-2
Kads
k0a
[ - ]
[s-1
]
tauscher-Harz Dowex 50W-X8 Ionenaustauscher-Harz in
Calcium-Form aus Batch-Experimenten gewonnen. Tab. 1
enthaÈlt eine Liste der verwendeten Parameter. Die Tempe-
ratur am inneren Rand des Spaltes wurde bei allen Rech-
nungen mit 60 8C festgesetzt, und die Umgebungstempera-
tur wurde mit 20 8C angenommen.
3.2 Einfluss der Eluentvorheizung
Der Einfluss von unterschiedlichen Eintrittstemperaturen
des Eluenten/Feeds wurde am Beispiel einer waÈssrigen Sac-
charose-LoÈsung mit einer Konzentration von 200 g/l ermit-
telt. Abb. 2 zeigt die berechnete Geschwindigkeits- und
Temperaturverteilung fuÈ r drei verschiedene Eintrittstempe-
raturen. Die Eintrittstemperatur von 60 8C entspricht genau
der Temperatur am inneren Rand des Hohlzylinders. Es
handelt sich hierbei um eine optimale Vorheizung. Mit
den Eintrittstemperaturen von 55 8C und 20 8C werden zu-
saÈtzlich die FaÈlle einer schlechteren und einer voÈllig fehlen-
den Vorheizung betrachtet.
Wie zu sehen ist, kommt es in allen FaÈllen zu einer
deutlichen Geschwindigkeitsabnahme von innen nach au-
ûen. Die Abnahme der Geschwindigkeit ist bei 55 8C und
60 8C aÈhnlich. Bei einer Eintrittstemperatur von 20 8C kommt
es jedoch zu einem deutlich hoÈheren Geschwindigkeitsab-
fall. Alle diese FaÈlle zeigen, dass die bei der Auslegung
von chromatographischen Trennungen stets getroffene An-
nahme eines plug-flow hier nicht gerechtfertigt ist.
Das untere Diagramm zeigt die Ursache fuÈ r die
nenswerte Abweichung vom linearen Verlauf zu erkennen.
Ein linearer radialer Temperaturverlauf entspricht dem sta-
tionaÈren Profil, welches sich nach dem Ende des thermi-
schen Einlaufbereichs ausbildet. Die Ergebnisse zeigen so-
mit, dass der thermische Einlaufbereich bei diesen beiden
Rechnungen kaum eine Rolle spielt. Anders ist es dagegen
bei der tieferen Eintrittstemperatur. Hier ist die Kurve deut-
lich nach unten durchgebogen. Die wesentlich groÈûere Tem-
peraturdifferenz ist auf die hoÈheren Temperaturunterschie-
de im hier sehr viel laÈngeren thermischen Einlaufbereich
zuruÈ ckzufuÈ hren.
auftretenden Geschwindigkeitsprofile. Hier ist die uÈ ber
die gesamte HoÈhe des Apparates gemittelte Temperatur
fuÈ r verschiedene fest definierte, radiale Positionen darge-
stellt. Allgemein faÈllt die Temperatur vom beheizten inneren
Rand nach auûen hin deutlich ab. Aufgrund der bei niedri-
geren Temperaturen hoÈheren ViskositaÈt stroÈmt vermehrt
FluÈ ssigkeit durch die waÈrmeren Bereiche, und es kommt
zu dem berechneten Geschwindigkeitsabfall. Analog zur
Geschwindigkeitsverteilung zeigen die Rechnungen fuÈ r
55 8C und 60 8C kaum Unterschiede, waÈhrend bei einer Ein-
trittstemperatur von 20 8C ein deutlich hoÈherer Temperatur-
abfall zu beobachten ist.
Abb. 3 zeigt die Auswirkungen, die die berechne-
ten Geschwindigkeitsprofile auf die Breite eines Konzentra-
tionsprofils am Austritt haben. Dargestellt ist hier der ideale
Fall, bei dem der eintretende Rechteckimpuls von 158 nicht
durch andere Effekte zusaÈtzlich verbreitert wird. Die Rota-
tionsgeschwindigkeit betraÈgt hier 0,02 8/s. Wie bei den Ge-
schwindigkeits- und Temperaturprofilen, gibt es auch hier
kaum Unterschiede zwischen den Eintrittstemperaturen
von 60 8C und 55 8C. Die Peakverbreiterung betraÈgt ungefaÈhr
108. Bei der geringsten Eintrittstemperatur ist das Austritts-
profil ungefaÈhr weitere 38 breiter.
AuffaÈllig sind hier auch die Unterschiede in der
Kurvenform. Bei den hoÈheren Temperaturen ist keine nen-

Chemie Ingenieur Technik (72) 7 I 2000
712 W I S S E N S C H A F T L I C H E K U R Z M I T T E I L U N G E N
Abbildung 3.
ca. 60 8C und bei fehlender Isolierung des Chromatographen
radiale GeschwindigkeitsaÈnderungen vorliegen, die die
Konzentrationsprofile am Austritt erheblich verbreitern.
Diese Verbreiterung ist um so staÈrker, je weniger der
Feed/Eluent vorgeheizt wird. Bei den Rechnungen mit ho-
her Eintrittstemperatur zeigt der lineare radiale Tempera-
turverlauf die in diesen FaÈllen vernachlaÈssigbar geringe Be-
deutung des thermischen Einlaufbereichs, was die vereinfa-
chende Annahme einer eindimensionalen StroÈmung hier
gerechtfertigt erscheinen laÈsst. Bei der geringeren Eintritts-
temperatur von 20 8C hat der Einlaufbereich eine wesentlich
groÈûere Bedeutung, so dass fuÈ r diesen Fall die Erweiterung
auf ein zweidimensionales StroÈmungsmodell mit BeruÈ ck-
sichtigung einer radialen Geschwindigkeitskomponente
im Bereich der Ausbildung des Temperatur- und
StroÈmungsprofils sinnvoll erscheint.
Konzentrationsprofile bei BeruÈ cksichtigung der temperatur-
induzierten Geschwindigkeitsverteilung fuÈ r verschiedene
Eintrittstemperaturen.
Ein Vergleich des Temperatureffektes mit dem
StoffuÈ bergangseffekt zeigt, dass bei den dargestellten Bei-
spielen beide Mechanismen einen aÈhnlichen peakverbrei-
ternden Effekt haben, der sich letztlich bei gemeinsamer Be-
trachtung additiv uÈ berlagert. Da bei den hier dargestellten
Rechnungen die Stoffdaten des Feeds verwendet wurden,
sind die Ergebnisse streng genommen nur fuÈ r sehr ver-
duÈ nnte LoÈsungen, bei denen auch der Eluent annaÈhernd
die gleichen Stoffwerte aufweist, guÈ ltig. Bei hoch konzen-
trierten LoÈsungen weisen Feed und Eluent dagegen groûe
Unterschiede in Bezug auf ihre Stoffdaten auf, und es herr-
schen dann im Kern des Konzentrationspeaks (hohe Kon-
zentrationen) andere StroÈmungsgeschwindigkeiten als an
den RaÈndern (geringe Konzentrationen).
3.3 Vergleich mit StoffuÈ bergangseffekten
In Abb. 4 werden die beiden peakverbreiternden Mechanis-
men StoffuÈ bergangswiderstand und temperaturinduzierte
StroÈmungsungleichverteilung einander gegenuÈ ber gestellt.
Dies geschieht am Beispiel der Eintrittstemperatur von
55 8C und einer Rotationsrate von wiederum 0,02 8/s. Wie
zu erkennen ist, ist hier die Peakverbreiterung durch reinen
StoffuÈ bergang geringer als die Verbreiterung durch den
Temperatureffekt. Bei der Betrachtung beider Effekte
kommt es zur groÈûten Verbreiterung, wobei die gesamte Ver-
breiterung etwas geringer ist als die Summe der beiden ein-
zelnen Verbreiterungen.
Im betrachteten Beispiel existieren durchaus er-
hebliche Unterschiede zwischen den ViskositaÈten der Zuk-
kerloÈsung und des hier nicht betrachteten Eluenten Wasser.
Da die TemperaturabhaÈngigkeit der ViskositaÈt des Wassers
deutlich geringer als die der Saccharose-LoÈsung ist, sind die
dargestellten Verbreiterungen etwas groÈûer als sie im realen
System zu erwarten sind. Eine exaktere Berechnung ist nur
durch eine rigorose dreidimensionale StroÈmungssimulation
mit gekoppelter LoÈsung der Massenbilanzen und konzen-
trationsabhaÈngigen Stoffwerten moÈglich. Die dargestellte
Methodik ist jedoch in der Lage, die durch temperaturindu-
zierte StroÈmungseffekte hervorgerufene Peakverbreiterung
sinnvoll abzuschaÈtzen. In dem hier behandelten Beispiel
lautet die praktische Empfehlung, den Apparat vollstaÈndig
zu isolieren und Feed und Eluenten vorzuheizen, um die
Trennung nicht zu verschlechtern.
4 Diskussion und Ausblick
Die Ergebnisse zeigen, dass bei den betrachteten Randbe-
dingungen einer gewuÈ nschten Betriebstemperatur von
Abbildung 4.
Vergleich der Peakverbreiterung durch Temperatureffkete
und StoffuÈ bergang.
Wir danken der DFG fuÈ r die finanzielle UnterstuÈ tzung.
Eingegangen am 27. Januar 2000 [K 2682]
Formelzeichen
a
[m-1]
spezifische StoffaustauschflaÈche
Konzentration in der fluÈ ssigen
Phase
C
[kg m-3]
C*
[kg m-3]
FluÈ ssigphasen-Konzentration in
den Poren
cp,f
[J kg-1 K-1] spezifische WaÈrmekapazitaÈt der
FluÈ ssigkeit

Chemie Ingenieur Technik (72) 7 I 2000
C h r o m a t o g r a p h e n 713
dp
h
[m]
[m]
Partikeldurchmesser
SchuÈ ttungshoÈhe
K
Kads
k
[W m-2 K-1] WaÈrmedurchgangskoeffizient
[-]
Adsorptionskoeffizient
Reibungskoeffizient
[-]
k0
q
[m s-1]
[kg m-3]
[Pa]
Stoffdurchgangskoeffizient
Konzentration in der festen Phase
Ûberdruck
p
r
[m]
radiale Koordinate
T
[K]
Temperatur
u0
z
[m s-1]
axiale Leerrohrgeschwindigkeit
axiale Ortskoordinate
[m]
g r i e c h i s c h e B u c h s t a b e n
e
[-]
LuÈ ckengrad der SchuÈ ttung
et
[-]
gesamte PorositaÈt der SchuÈ ttung
kbed
[W m-1 K-1] effektive WaÈrmeleitfaÈhigkeit einer
nicht durchstroÈmten SchuÈ ttung
kf
kr
ks
mf
[W m-1 K-1] WaÈrmeleitfaÈhigkeit der FluÈ ssigkeit
[W m-1 K-1] effektive radiale WaÈrmeleitfaÈhigkeit
[W m-1 K-1] WaÈrmeleitfaÈhigkeit des Feststoffs
[m2 s-1]
kinematische ViskositaÈt der
FluÈ ssigkeit
h
[8]
Winkelkoordinate
Eintrittswinkel
hein
hel
qf
[8]
[8]
Elutionswinkel
[kg m-3]
[8 s-1]
FluÈ ssigkeitsdichte
Rotationsgeschwindigkeit
x
Literatur
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