Full text of DOI:10.1051/metal:2001196

Un modèle de lubrification
en régime mixte du laminage
,
+
P. Montmitonnet*, N. Marsault* ,
P. Deneuville**, P. Gratacos***
*
Centre de Mise en Forme des Matériaux (CEMEF),
École Nationale Supérieure des Mines de Paris, Sophia Antipolis
* Pechiney - Centre de Recherches de Voreppe
*
*
** Irsid - Groupe Usinor, Maizières-les-Metz
+
Maintenant chez Vetrotex, Chambéry
Des études expérimentales (1) semblent montrer qu’un
coefficient de frottement unique pour toute l’emprise ne peut
suffire, ce qui fait que l’on a du mal à « ajuster » simultané-
ment force, couple et glissement en avant avec un modèle
mathématique de laminage, si performant soit-il, utilisant
une simple loi de Coulomb par exemple. S’il faut une modé-
lisation locale du frottement, elle ne peut que faire appel à
une analyse de la physique des interactions de contact, puis
à leur modélisation, enfin au couplage de ce modèle tribolo-
gique avec le modèle de laminage.
Le régime de lubrification mixte est le plus
fréquemment rencontré en laminage à froid.
Sa modélisation est le but de cet article.
La lubrification, phénomène interfacial, est
fortement couplée à la mécanique de l’opération
de laminage. C’est pourquoi le modèle présenté
assemble un modèle macroscopique de laminage
Dès les années 1960, des modèles de lubrification hydro-
dynamique (HD) sont apparus, dérivés des modèles de
lubrification élasto-hydrodynamique (EHD). Ces modèles
n’étaient certes pas les mieux adaptés, puisque le laminage
fonctionne le plus souvent en régime mixte (2) ; mais un
modèle HD est plus simple à construire, et quelques opéra-
tions s’effectuent en HD. Puis, dans les années 1970, on a
introduit la rugosité pour analyser le caractère mixte en
estimant l’aire réelle de contact (« les plateaux »). Plus tard
(méthode des tranches élasto-plastiques) et un
modèle microscopique de lubrification en régime
mixte, lui-même composé d’une équation de
Reynolds entre surfaces rugueuses (formation du
film lubrifiant) et d’une équation d’évolution de la
rugosité, par conformation de la tôle au cylindre.
Les principes du modèle sont présentés,
comparés à ceux de la littérature, ses hypothèses
et ses résultats sont discutés, et quelques
applications sont évoquées.
(années 80), des modèles ad hoc d’évolution de cette rugo-
sité ont été construits, et introduits dans les modèles de
régime mixte. Enfin, l’effet de la rugosité sur l’entraînement
du lubrifiant a été reconnu, et modélisé en utilisant la notion
de « flow factors » introduite dans les années 1970 en EHD.
La confrontation expérience - théorie a ainsi donné nais-
sance à des générations successives de modèles de régime
mixte en laminage. On notera enfin que de tels modèles
couplés donnent une estimation de l’état de surface du
produit, en plus de la mécanique de l’opération.
■
INTRODUCTION
L’intérêt qui a été porté à la modélisation de la lubrification
du laminage à froid tient d’une part à la grande importance
économique de ce procédé, d’autre part à sa relative simpli-
cité : le régime stationnaire y est prépondérant. Il vient enfin
du rôle capital du frottement dans cette opération à outils
moteurs, rôle d’autant plus grand que la tôle est mince (ou,
pour mieux dire, que le rapport de la longueur d’arc de
contact à l’épaisseur est grand).
■
REVUE BIBLIOGRAPHIQUE
Modèles HD
Toute analyse de lubrification par un fluide visqueux repose
sur l’équation de Reynolds, dérivée des équations de
Navier-Stokes sous l’hypothèse d’une épaisseur de film
petite et lentement variable : on en déduit que la pression ne
dépend pas de y, et que le champ de vitesse est parabo-
lique en y (x est la coordonnée dans la direction de laminage
DL, y dans la direction verticale DN ; z serait la direction
transverse DT) ; puis, ayant calculé le débit massique, on
écrit sa conservation, qui donne l’équation de Reynolds.
Manuscrit reçu le 15 juin 2000, bon à publier le 21 octobre 2000 .
©
La Revue de Métallurgie 2001.
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux
Mai 2001
423

A mixed lubrication model of
the cold strip rolling process
,
+
P. Montmitonnet*, N. Marsault* ,
P. Deneuville**, P. Gratacos***
*
Centre de Mise en Forme des Matériaux (CEMEF),
École Nationale Supérieure des Mines de Paris, Sophia Antipolis
* Pechiney, Centre de Recherches de Voreppe
*
*
** Irsid - Groupe Usinor, Maizières-les-Metz
+
Now at Vetrotex, Chambéry
Lubrication in cold rolling processes was first modelled
using the plasto-hydrodynamic theory (3, 6). Short after
came the first mixed lubrication models (11). Later on
more sophisticated description of the physics of mixed
lubrication was included : in (16, 17) the so-called “high
speed” mixed models, then in (19) the “low speed”
models. The present paper describes an effort towards
more general models covering the whole range of rolling
speeds, see also (21, 24). Basically, the proposed
model describes rolling under mixed lubrication with a
set of ODE’s representing :
These equations are solved simultaneously by a 4-th
order Runge - Kutta method ; at each step in x, the real
area of contact A(x) and the local average film thickness
ht(x) are used to compute the local friction stress injec-
ted in [7] for the next step. Three embedded iterations
loops are necessary (fig. 2) : the inmost one to determine
the lubricant throuput Q corresponding to boundary
conditions on Reynolds’s equation, the middle one to
find the entry velocity (or forward slip) in line with the
applied strip tensions, and the outmost one to couple the
roll elastic deformation (using the FEM).
–
the elasto - plastic déformation of the rolled strip (slab
method) [7] ;
Examples of application are presented to show which
kind of information on the process can come out of
the model. One fitting parameter only remains, the
–
the formation of a lubricant film and its evolution with
Reynolds equation involving flow factors to include
the coupling with (evolving) roughness [14a] ;
(supposedly dry) friction coefficient on “plateaux”, since
lubricant viscosity and strip and roll roughness data (grou-
ped in a composite roughness) are explicitly taken into
account as part of the entry data. Application to an expe-
rimental campaign then shows that this local plateaux
friction coefficient is not intrinsic but depends on rolling
speeds, which points to some micro-HD phenomena
taking place. This supports a discussion on possible fur-
ther refinement of the model, first from the physical point
of view (several kinds of plateaux, either dry, or under
micro-mixed or micro-HD conditions ; thermal coupling)
then from the numerical point of view (moving to Finite
Differences e.g.) as the model remains quite computa-
tionnally intensive.
–
the deformation of roughness peaks through micro-
plastic equations [11a] et [12].
The model in fact includes a transition between a “low
speed” type model at entry and a “high speed” model
starting at some place in the plastic deformation zone
where lubricant pressure p reaches the average pres-
sure p.
b
Dans la suite, nous traitons des problèmes de déformation
plane (2D) ; l’équation de Reynolds (1D) s’écrit (fig. 1) :
[2]
[3]
[
1]
où Q est le débit :
constante
h(x) est la fonction épaisseur de film, p(x) la pression du
fluide, η(T,p) sa viscosité, ρ(T,p) sa masse volumique (dans
tous les articles traitant de laminage, elle est supposée
constante et disparaît de l’équation). Vcyl est la vitesse du
cylindre (constante) et Vbande(x) celle de la bande, variable
dans l’emprise. Le terme ∂ρh/∂t disparaît pour les procédés
stationnaires comme le laminage. On notera alors la forme
une fois intégrée (en supposant le comportement incom-
pressible pour simplifier) :
L’intérêt de l’approche HD est qu’elle donne aussi en tout
point la contrainte de frottement :
[4]
Si le premier modèle de frottement lubrifié en régime HD
dans l’emprise est dû à Cheng (3), ce n’est qu’un peu plus
424
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux
Mai 2001

lubrification en laminage
Nomenclature
-
1
A(x)
: proportion d’aire réelle de contact (les plateaux)
: demi-distance entre les axes des cylindres
V (m.s ) : vitesses, composantes selon x (V = vitesse de
cyl
laminage, Vbande(x) = vitesse locale du métal laminé,
Ventrée (Vsortie) vitesse d’entrée (de sortie) de la
bande
C (m)
-1
-1
Cbande (J.Kg .K ) : chaleur massique de la bande
Clam (N.m/m) : couple de laminage (par cylindre et par unité
de largeur)
-1
v ,v (m.s ) : vitesses microscopiques d’écrasement des
a
b
sommets de pics et de remontée des fonds de vallées
e(x) (m) : épaisseur de la bande (e , e : en entrée, en sortie)
x,y,z (m) : coordonnées dans la direction de laminage (DL),
dans la direction normale à l’interface (DN), dans la
direction transverse (DT)
1
2
E
: intensité de plastification
-1
Eact (J.mol ) : énergie d’activation de la viscosité
f(z) fonction densité de répartition des hauteurs de rugosité
Flam (N/m) : force de laminage par unité de largeur
: glissement en avant : G = Vsortie/Vcyl-1
x , x (m) : abscisse de début de la zone de déformation
:
0
s
plastique, point de sortie d’emprise
ycyl(x) (m) : profil du cylindre
G
α (radian) : angle d’attaque de l’emprise (équation [5])
H (Pa) : résistance des aspérités à l’écrasement
a
-1
γ (Pa ) : coefficient de piézo-viscosité
h(x) (m) : distance entre lignes moyennes des surfaces solides
•
–
–
ε,ε
: déformation et vitesse de déformation généralisée
rugueuses, non réactualisées
•
•
ε
(ε
)
: vitesse macroscopique de déformation selon y
ht(x) (m) : épaisseur moyenne locale de lubrifiant (m)
yy xx
(selon x)
h0 (m) : épaisseur en entrée de zone plastique (modèle HD)
p
φ
: flow factors (φ : du débit, terme de gradient de
L (m)
: périodicité des crêtes longitudinales de rugosité
s
f
fs
pression, φ : du débit, terme de cisaillement, φ , φ ,
fp
Lc (m) : longueur d’emprise
φ
: de la contrainte de cisaillement ; voir [14a,14b])
ma
: coefficient de frottement de Tresca sur les plateaux
η (Pa.s) : viscosité du lubrifiant (η0 : viscosité à température T0
et pression ambiante)
p (Pa) : pressions (p(x) : pression globale de laminage ;
pa : pression sur les plateaux ;
–
–
µ, µ
: coefficients de frottement de Coulomb (µ coefficient
pb : pression du lubrifiant dans les vallées)
moyen dans l’emprise)
3
-1
-3
Q (m .s ) : débit (de lubrifiant)
ρ (Kg.m ) : masse volumique du lubrifiant
σ (m) : rugosité composite RMS (σ : rugosité RMS du
R (J.mol-1 K-1) : constante des gaz parfaits
cyl
cylindre, σ
: de la bande)
bande
Rcyl (m) : rayon des cylindres
σ
,σ ,σ : contraintes (longitudinale, normale, transverse) (Pa)
xx yy zz
t (s)
: temps
σ0 (Pa) : contrainte d’écoulement du métal de la bande
τ (Pa) : contraintes tangentielles de frottement
τ : sur les plateaux ; τ : dans les vallées)
T(x)(K) : température (Tbande(x) : température de la bande ;
Tcyl : du cylindre ; T : température ambiante, i.e. de la
0
(
bande en entrée)
a
b
θ (radian) : angle local de la tangente au cylindre avec
T , T (Pa) : tensions de bande (entrée, sortie)
1
2
l’horizontale
tard qu’une véritable analyse de la formation du film lubri-
fiant, par l’équation de Reynolds, est venue clarifier le pro-
pos. Pour y parvenir, on utilise une technique précédem-
ment utilisée en EHD (4), pour éviter d’avoir à intégrer [1],
couplée à un modèle de laminage, de l’entrée à la sortie,
avec les conditions aux limites délicates qui y correspondent
si l’on veut éviter de passer par des pressions négatives
bien sûr impossibles (5). S’appuyant sur la connaissance
de la mécanique du laminage, on introduit une condition
«
aux limites » à l’intérieur du système, condition qui
découple une zone d’entrée et une zone de travail (fig. 1) :
au point x (inconnu) de début de déformation plastique de
0
la tôle, p = σ0 - T1 (contrainte d’écoulement du métal -
contrainte de contre-traction) et dp/dx = 0. On peut alors
intégrer entre x = -∞ et x = x (inconnu) et en déduire la for-
0
Figure 1 – Description du système étudié et nomenclature.
Figure 1 – Description of the system and nomenclature.
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux
Mai 2001
425

lubrification en laminage
mule de Wilson et Walowit (6) donnant x et l’épaisseur h0
en début de déformation plastique de la tôle :
Passage au régime mixte :
première génération
0
[
[
5a]
5b]
La première tentative a été faite par Tsao et Sargent (11) :
–
l’épaisseur de film h est calculée en tout point de l’emprise
avec :
par [5], [8] et constitue la distance entre les lignes moyennes
des surfaces ;
–
les rugosités initiales de la tôle et du cylindre, supposées
T1 est la contre-traction, et α l’angle d’attaque. Rcyl est le
rayon du cylindre, e et e les épaisseurs de la tôle en entrée
gaussiennes, sont regroupées sous forme de rugosité com-
posite, d’écart-type :
1
2
et en sortie. La viscosité est ici prise sous la forme :
[
6]
–
à partir de h et σ, l’aire réelle de contact A(x) est déduite
Dans la suite de l’emprise, la répartition de pression de
contact est calculée en modélisant la déformation plastique
de la tôle, le plus souvent sous forme d’une équation diffé-
rentielle ordinaire (ODE) par une méthode de tranches :
du modèle de contact élastique entre surfaces rugueuses de
Greenwood (12) ;
–
le frottement s’en déduit par moyenne pondérée d’un frot-
tement constant (« frottement de Tresca ») sur les « pla-
teaux » et d’un frottement visqueux [4bis], avec dp/dx ≈ 0,
dans les « vallées » :
[
7]
ou, sous forme simplifiée négligeant l’écrouissage, remar-
quant que τ.tanθ << p et de/dx = -2tanθ :
[
9]
[
7bis]
Dans de nombreux cas, compte tenu des gradients de pres-
sion modérés dans la zone plastique, on néglige le terme de
Poiseuille en dp/dx et l’équation de Reynolds se simplifie
Un couplage itératif doit être assuré entre modèle tribolo-
gique et modèle de laminage du fait de la dépendance du
rayon Rcyl [5] – plus généralement de la forme du cylindre –
par rapport à la force ou aux contraintes de contact, qui
elles-mêmes dépendent du frottement par [7bis] (on se
reportera à (13, 14) pour une analyse des déformations de
cylindres).
(3, 6) :
[
8]
Sous la même hypothèse, la contrainte de frottement [4]
devient :
Ce premier modèle de régime mixte ne s’intéressait pas à la
répartition de la charge p(x) entre les vallées et les plateaux.
Une approche assez semblable reste en vigueur dans (15).
[
4bis]
Régime mixte : deuxième génération
La conservation du débit de métal implique que Vbande(x) =
(tôle rigide-plastique, cylindres rigides)
Ventrée.e /e(x). L’équation [8] – conservation du débit de
1
lubrifiant – permet alors de déterminer h(x) en tout point de
la zone plastique. [4] (ou [4bis]) explicite alors τ(x) en fonc-
tion de p(x). On reporte les expressions de e(x) et de τ(x)
dans [7] ou [7bis], où p(x) devient la seule inconnue : on
peut alors résoudre cette équation. Cela constitue la base
des nombreux modèles de lubrification HD du laminage qui
se sont succédés, l’un ajoutant la thermique du lubrifiant (7),
l’autre l’élasticité de la tôle ou du cylindre (8). La méthode
des tranches peut être remplacée par une méthode d’élé-
ments finis (9), de même que la résolution de l’équation de
Reynolds (10). On pourrait aussi – mais le gain serait faible
Modèles d’écrasement de la rugosité
C’est cette lacune que tenteront de combler les modèles sui-
vants de Wilson et Sheu (16) et de Johnson et Sutcliffe (17).
À la répartition de contrainte de frottement [9], ces auteurs
ajoutent une répartition de la pression de contact (p = pres-
a
sion sur les plateaux, p = pression fluide dans les vallées) :
b
[
10]
Cette relation introduit deux inconnues et une seule équa-
tion : il faut donc une autre équation. Elle est donnée par des
modèles d’écrasement plastique (et non plus élastique)
d’aspérités qui se mettent sous la forme :
–
résoudre [7] ou [7bis] avec une répartition τ(x) donnée
pour avoir p(x). p(x) connu, [2] devient une équation du troi-
sième degré en h(x) (car Q = Ventrée.h /2 est connue aussi
0
d’après [5]) : c’est ce que l’on appelle la résolution en mode
inverse de l’équation de Reynolds. Il resterait à calculer τ(x)
par [4] et à reboucler (itérativement) dans [7].
[
11a,b]
426
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux Mai 2001

lubrification en laminage
E représente l’effet de la plasticité du substrat : sur un sub-
strat plastiquement déformé, une aspérité se déforme plus
Effet de la rugosité sur l’écoulement
du lubrifiant : « flow factors »
facilement, sa « dureté » H diminue. E est un rapport entre
a
•
la vitesse de déformation macroscopique (ε ) et les
Dans (16), et dans de nombreux articles par la suite, l’équa-
tion de Reynolds a été modifiée pour tenir compte de l’effet
de la rugosité par la technique dite des « flow factors » (18) :
yy
vitesses microscopiques v (vitesse de descente des pla-
a
teaux) et v (vitesse de remontée des fonds de vallées) ;
b
L est la demi-distance entre aspérités supposées être des
crêtes longitudinales, périodiques selon DT.
On notera un double couplage dans [11] : couplage plas-
tique micro-macro sous-jacent à la définition de E, et cou-
plage vallées - plateaux (fluide - solide) lié à la présence du
terme p -p au premier membre (la pression dans les val-
[
[
14a]
14b]
a
b
lées, par effet de critère de plasticité, « aide » les plateaux
à résister à l’écrasement).
Les « flow factors » φ expriment l’influence de la rugosité sur
le débit (donc l’épaisseur de film) et sur les contraintes de
cisaillement. La rugosité freine l’écoulement de Poiseuille,
en dp/dx, mais entraîne le lubrifiant par le terme de Couette,
On exprime aussi le rapprochement des surfaces solides :
en (Vcyl-Vbande)/h . Les φ s’expriment en fonction de h/σ et
[
12]
t
de l’orientation de la rugosité, synthétisée par le nombre de
Peklenik, rapport des longueurs d’auto-corrélation selon DL
et DT. Ultérieurement (19), pour éviter des difficultés liées
au passage de h par 0, les fonctions φ ont été modifiées
E peut se tirer de [11a] si A, p et p sont connus au point x.
a
b
•
Vbande(x) et ε (x) s’expriment simplement par la conserva-
xx
pour que l’on puisse également utiliser h dans l’écriture du
tion du volume de métal compte tenu de la géométrie du
système.
t
terme de Poiseuille.
Technique d’intégration des équations
Relations microgéométriques
[
2] (ou [14a] mise sous une forme équivalente), [7] ou [7bis]
Dans ces modèles, on est amené à distinguer une épaisseur
et [12] (ou une forme équivalente exprimant l’évolution de la
rugosité) forment ainsi un système d’ODE qui sont résolues
par une méthode de Runge - Kutta dont [9], [10], [11] et [13]
servent à exprimer les coefficients. La mise en œuvre de
ces équations fait appel à une division du système en trois
zones selon DL (16). Dans (17), seules les deux premières
zones sont étudiées, le film étant considéré comme formé à
leur sortie ; son évolution ultérieure serait donnée e.g. par
moyenne de film lubrifiant h (x) et une épaisseur fictive,
t
égale à la distance entre les lignes moyennes de la rugosité
du cylindre et de la tôle, supposée non déformée, h(x). Il est
à noter que h peut devenir négative, ce qui est bien sûr
impossible pour h . h et h ne sont égales qu’en l’absence de
t
t
tout contact entre aspérités, i.e. en régime HD pur, et sont
reliées par :
[
8]. Des hypothèses différentes sont faites dans les diverses
[
[
13a]
13b]
zones :
1
) Zone d’entrée (x < x sur la figure 1, bande élastique, i.e.
0
p < σ ). Au fur et à mesure que les deux surfaces se rap-
0
prochent, h diminue de façon connue ; on en déduit h et A
de manière purement géométrique (à partir des relations
t
f(z) est la fonction densité de répartition des hauteurs z de
la rugosité, σ est son écart-type. Ces relations sont explici-
tées soit par une approximation, dite de Christensen, d’une
répartition gaussienne :
[
13]). [12] n’est donc pas utilisée ; [7] n’est pas disponible
puisque la tôle ne se déforme pas plastiquement ; [11a],
activée dès que les aspérités touchent la surface du
cylindre, se simplifie en p ~ 3 σ (écrasement d’aspérités
a
0
sur substrat élastique) ; pb est donné par l’équation de
Reynolds [1] ou [14a] (sens direct : h connu, l’intégration
donne p) ; enfin, p = Ap + (1 - A)p .
a
b
pour z ∈ [-3σ,3σ], soit, pour des rugosités périodiques déter-
ministes triangulaires « en dents de scie », par :
2
) Zone de transition (juste après x sur la figure 1). On fait
0
l’hypothèse que p reste provisoirement égal à σ , sans autre
0
justification que la faible longueur de cette zone, qui assure
que la perturbation reste petite. On n’a donc pas à résoudre
[
7]. Cette hypothèse étend celle du régime HD (dp/dx = 0 au
point x ). p augmente suivant [1] jusqu’à ce que p = p
0
b
a
b
pour
(
critère de fin de cette zone) ; [10] joint à p = σ donne p , qui
0
a
diminue du fait de la plastification du substrat ; [11a] donne
alors E (ou dE/dx) qui, reporté dans [12], explicite dh/dx.
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux
Mai 2001
427

lubrification en laminage
3
) Zone de travail (x < x < x , bande plastique, p > σ ). On
modèles 1D, on utilise une autre stratégie : en prenant la
forme du premier degré [2], on introduit une variable sup-
plémentaire, le débit Q, que l’on utilise pour une méthode de
tir : on en choisit une approximation pour intégrer une pre-
mière fois, puis, constatant que la condition en sortie n’est
pas vérifiée, on la modifie itérativement jusqu’à corriger ce
défaut.
0
s
0
ne voit pas de raison physique permettant que p > p ; donc
on suppose que p = p = p . dp /dx (= dp/dx) ainsi connu
par le modèle de tranches, on en déduit h (x) (Reynolds
inverse), donc dh /dx dont découlent dh/dx et dA/dx. On
notera que dans cette zone, l’équation d’écrasement [11a]
n’est plus utile (en fait, une inconnue, p , disparaissant,
b
a
a
b
b
t
t
a
[
11a] n’est plus utilisable). L’intégration de ces ODE donne
la solution en p, A et h dont on déduit toutes les autres
variables.
■ MODÈLE ÉLASTOPLASTIQUE MIXTE
HAUTE VITESSE - BASSE VITESSE
À l’usage, ces modèles, qui ne convergent pas pour les
«
basses vitesses » (i.e. les faibles épaisseurs), ont ulté-
Outre le besoin de construire un modèle capable de fonc-
tionner sur toute la gamme de vitesse intéressante en pra-
tique, nous avons souhaité réintégrer l’élasticité de la bande
comme des cylindres. En effet, il a été montré (8) que les
pré-déformations élastiques, même faibles, modifiaient suf-
fisamment la forme du convergent pour augmenter signifi-
cativement l’épaisseur de film lubrifiant ; ce résultat, vrai en
HD où tout se passe dans la zone d’entrée, doit être étudié
en régime mixte. Nous ne détaillerons pas le passage du
rigide - plastique à l’élastoplastique, qui alourdit les équa-
tions sans rien changer au principe, et nous renvoyons à
rieurement reçu la dénomination de « modèles de régime
mixte haute vitesse » (19).
Régime mixte : troisième génération
(tôle rigide-plastique, cylindres rigides)
La raison de l’absence de convergence est qu’à basse
vitesse, dans la réalité, la pression dans les vallées n’atteint
nulle part celle sur les aspérités, qui continuent dans toute
l’emprise de porter l’essentiel de la charge. Il faut donc
modifier comme suit la stratégie d’intégration (19).
(20). De même, l’élasticité du cylindre, traitée par une
méthode d’éléments finis (23) se traduit simplement par un
niveau de boucle d’itérations supplémentaire (voir l’organi-
gramme figure 2).
•
zone d’entrée : mêmes équations et même traitement, jus-
qu’à ce que p = σ0 ;
•
zone de travail : il n’y a pas de zone de transition ; dans la
Donnons cependant les grandes lignes de la mise en équa-
tions, détaillée dans (20) :
zone de travail, dp /dx est toujours donné par l’équation de
Reynolds, sens direct [2]. dh/dx est donné par le modèle
b
d’écrasement d’aspérités sous la forme [12] ; on en déduit
•
Dans la zone d’entrée (bande élastique), [2] (+ les « flow
dA/dx par [13] (tout en exprimant E en fonction de p, p et A
(*)
b
factors » de [14a]) donne dp /dx (=dp/dx), [7] est réécrite
pour exprimer dσ /dx ; ayant les deux composantes de
•
xx
b
par [11a], et en explicitant Vbande et ε ). Le modèle de
xx
tranches [7] ou [7bis] donne dp/dx (qui dépend de A par [9]).
C’est ce système de trois ODE que l’on intègre.
contraintes, on en déduit les deux composantes de défor-
mation dont on tire de/dx (évolution de la géométrie de la
bande, qui gère l’angle d’attaque « local ») et dVbande/dx.
Toutes les autres équations servent à expliciter les seconds
membres de ce système différentiel. On distingue en parti-
culier la partie amont, sans contact, donc HD, de la partie la
plus proche de l’emprise, où les contacts ont commencé, ce
qui active [9-13].
Le problème est que ce type de modèle ne converge pas
pour les « hautes vitesses » (proches du régime HD) parce
que p (x) tend à devenir très supérieur à p(x).
b
On constate pour finir (20) qu’entre le domaine de conver-
gence des modèles « haute vitesse » et celui des modèles
«
basse vitesse «, il existe en général un fossé où aucune
•
La zone de travail plastique commence comme un modèle
des deux méthodes ne marche. On notera cependant que,
très récemment, le domaine de convergence des modèles
«
basse vitesse », en conservant [2] qui donne dp /dx
b
(≠ dp/dx). La loi de comportement (équations élastoplas-
«
basse vitesse » a été étendu par (21) en remplaçant l’in-
tiques de Prandtl-Reuss) et l’équation d’équilibre [7] don-
tégration de [1] (ou [14a]) par une méthode de différences
finies.
nent dσ /dx, dσ /dx (=-dp/dx) et dVbande/dx. Pour de
xx
yy
simples raisons pratiques, l’équation micro-géométrique est
écrite cette fois en de/dx et non plus dh/dx, sachant qu’il
existe une relation géométrique simple entre e(x) et h(x) :
Remarque sur les conditions aux limites
[
15]
L’utilisation de la forme du second ordre [1] ou [14a] implique
d’écrire deux conditions aux limites. Mis à part l’astuce qui,
ycyl(x) est la forme du cylindre, C la demi-distance entre
en HD, consiste à les écrire toutes deux en x , la façon natu-
c
axes des cylindres.
relle de faire donne une condition loin en amont (p = 0) et
une condition loin après la sortie (p = 0). Mais intégrer de
cette façon conduit à des invraisemblances (la pression
passe en général en dessous de 0). Il faut en fait écrire une
condition de cavitation en sortie de contact (22), par
*
Il faut noter que l’expression de ces « flow factors » tient compte
d’une transition vallées ouvertes - poches fermées lorsque A aug-
mente : c’est le « seuil de percolation », qui dépend de l’orientation
de la rugosité, i.e. du nombre de Peklenik (voir le texte de Letalleur,
Plouraboué et Prat dans ce numéro).
exemple p = 0 et dp/dx = 0 en un point inconnu x . Dans les
s
428
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux Mai 2001

lubrification en laminage
•
On termine par une zone de sortie (bande élastique). On
y suppose que h et A n’évoluent plus, que le contact est
maintenu entre bande et cylindre, ce qui impose e(x) par
[
15] ; l’équation d’équilibre [4a] donne alors dσ /dx ; les
xx
équations élastiques dσ /dx et dv /dx. σ et σyy sont utili-
yy
x
xx
sées pour déterminer le point de sortie. Si l’on vient d’une
zone de travail basse vitesse, [2] donne dp /dx. Sinon, p =
b
b
p = -σyy est connue.
En résumé, l’intégration commence en modèle « basse
vitesse », puis transite vers le modèle « haute vitesse » dès
lors que pb atteindrait p. Ce critère de transition a été
modifié dans le sens d’une plus grande simplicité et d’une
meilleure efficacité, par rapport au modèle mixte « basse
vitesse - haute vitesse » de Lin et al (24), dont les hypo-
thèses physiques sont par ailleurs très proches (aux élasti-
cités près).
On constate cependant une certaine complexité, tant de par
la diversité des phénomènes, très fortement couplés, qui
y sont pris en compte, que des diverses zones rendues
nécessaires par la transition élastique - plastique de la
bande, ou par des difficultés numériques (zones de travail
«
basse vitesse » - « haute vitesse »). La figure 2 en pré-
sente l’organigramme. On y trouve trois boucles d’itérations
imbriquées, ce qui en fait un problème numériquement
intensif :
–
–
la boucle de tir sur le débit Q annoncée plus haut ;
une boucle de détermination du point neutre par tir sur la
vitesse d’entrée (ou, ce qui est équivalent, du glissement
en avant) ;
–
une boucle sur la déformation du cylindre qui, étant trai-
tée par éléments finis, ne peut s’intégrer aux ODE et doit
donc faire l’objet d’un couplage itératif.
Les deux dernières boucles citées ne sont pas spécifiques
de ce modèle ; on les trouve dans tout modèle de laminage.
Figure 2 – Organigramme général du modèle.
Figure 2 – General flow chart of the model.
Le modèle comprend aussi une analyse thermique simpli-
fiée, fondée sur l’échauffement adiabatique de la bande par
déformation plastique :
•
À un certain point de l’emprise, là où pb augmentant
rejoint p qui décroît, et où par conséquent p = p = p, on
[16]
a
a
b
change de système. En effet, en ce point, on constate que
le terme de Poiseuille devient négligeable devant celui de
Couette, car les gradients de pression sont faibles. Cette
transition est introduite pour permettre au processus de
converger malgré l’hypersensibilité des pressions au débit
–
ε est la déformation généralisée :
(*)
Q
. On utilise alors la forme inverse de Reynolds sans
terme de gradient, [8] + « flow factors » selon [14a], pour
•
–
ε la vitesse de déformation généralisée :
obtenir dh /dx puis dh/dx = (dh /dx)·(dh/dh ) en utilisant
t
t
t
[
13a]. Équations d’équilibre et de comportement donnent
toujours dσ /dx, dσ /dx (= -dp/dx) et dVbande/dx. On
xx
yy
impose dans toute la suite de l’emprise p = p = p .
b
a
On se donne d’autre part une température des cylindres
Tcyl(x). La température du lubrifiant (celle à laquelle la vis-
cosité est prise) est la moyenne des températures de la
bande et du cylindre. On notera que l’on ne tient pas compte
(
*) Il est à noter que si p n’atteint jamais p dans l’emprise, la tran-
b
a
sition n’est pas imposée ; on est dans un cas où le modèle « basse
vitesse » converge.
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux
Mai 2001
429

lubrification en laminage
de l’auto-échauffement du lubrifiant par cisaillement, ni de
l’effet de son champ de température sur son champ de
vitesse ; voir (5, 25) pour une revue des modèles de lubrifi-
cation avec couplage thermique.
■
QUELQUES RÉSULTATS
Analyse de l’effet
de la vitesse de laminage
Nous choisissons les conditions de laminage suivantes.
Noter au passage les données à fournir : aux données habi-
tuelles s’ajoutent la viscosité du lubrifiant et la rugosité de la
bande, ainsi que le frottement « sur les plateaux » ma :
–
bande de 1,0 mm en aluminium (module d’Young 70 GPa,
coefficient de Poisson 0,3, contrainte d’écoulement
200 MPa, sans écrouissage), réduction 30 %, pas de ten-
sions de bande ;
–
cylindres en acier (module d’Young 210 GPa, coefficient
de Poisson 0,3), rayon 200 mm ;
-
1
-8
–
–
lubrifiant : η (Pa.s ) = 0,01 exp(10 .p ) ;
b
rugosité de tôle : σ = 0,5 µm, quasi-longitudinale
(Peklenik = 9), demi-distance entre crêtes L = 30 µm.
–
frottement sur les plateaux : m = 0,25 (loi de Tresca).
a
Figure 4 – Influence de la vitesse de laminage sur les variables
tribologiques microscopiques et macroscopiques
Dans la figure 3, on a choisi trois vitesses très différentes :
(mêmes conditions que figure 3, voir texte).
-3
-1
-1
10 , 10 et 10 m.s . On représente dans ces trois cas
Figure 4 – Influence of speed on microscopic and macroscopic
tribological variables (same conditions as figure 3, see text).
l’évolution le long de l’emprise de la pression totale p(x) et
de la pression fluide p (x). Dans tous les cas, p(x) monte
b
très brutalement au début de la zone de travail plastique,
puis présente la montée graduelle et la descente classique
de la « colline de frottement », avant de plonger dans la
zone élastique de sortie :
• à la plus haute vitesse, p monte aussi très vite par effet
hydrodynamique, juste avant la fin de la zone élastique d’en-
b
trée ; elle atteint p (= p ) une courte distance après : on
a
visualise ici la « zone de transition » d’un modèle haute
vitesse qui convergerait parfaitement ici. Par hypo-
thèse, p ne quitte plus alors la courbe de p(x) ;
b
•
à vitesse intermédiaire, pb peine à monter, les
effets hydrodynamiques étant beaucoup plus
faibles ; elle n’atteint jamais complètement p(x) :
c’est un régime basse vitesse, à la limite de la tran-
sition. À vitesse un peu plus forte, p se collerait à
b
p près du point neutre d’abord, puis de plus en plus
largement ;
•
à la plus basse vitesse, p commence par stag-
b
ner, puis monte brusquement à p : pourtant les
effets hydrodynamiques sont évanescents. En fait,
A augmente ici tellement vite que le seuil de per-
colation est atteint : l’effet n’est pas hydrodyna-
mique, mais hydrostatique (huile piégée dans les
poches isolées). Dans ces circonstances, le modèle
impose aussi que p = p, et s’y maintienne. On
b
Figure 3 – Effet de la vitesse sur la répartition de pression globale
constate bien que le frottement est plus fort (par
l’intermédiaire de A), ce qui entraîne que les
contraintes de contact p(x) sont plus élevées que
dans les cas « haute vitesse » ou « vitesse inter-
médiaire ».
(
p = colline de frottement) et de pression fluide p .
b
Conditions de laminage : voir dans le texte.
Figure 3 – Influence of rolling speed on pressure profiles
global pressure p = friction hill ; fluid pressure pb).
(
430
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux Mai 2001

lubrification en laminage
La figure 4 balaye continûment l’intervalle de vitesse. On
reporte en fonction de Vcyl les variables internes microsco-
mentaux (force, couple, glissement en avant) et les avons
reproduits par le modèle décrit dans le présent article, en
ajustant un seul paramètre, le coefficient de frottement sur
piques du modèle, A et h (en fin d’emprise), ainsi que le
t
glissement en avant G = (Vsortie - Vcyl)/Vcyl, et le frottement
de Coulomb équivalent moyen :
les plateaux m (les propriétés rhéologiques de l’huile et les
caractéristiques mécaniques et rugosimétriques de la tôle et
a
du cylindre étant connues). Le résultat (m ajusté) est repré-
a
senté par les courbes continues (échelle de droite).
On aurait pu s’attendre à ce que la diminution du frottement
moyen µ soit liée à la seule croissance des effets hydro-
dynamiques avec la vitesse, auquel cas ma aurait été
constant. On observe bien des effets hydrodynamiques
Lorsque la vitesse augmente, l’épaisseur de film lubrifiant
croît, d’abord très faiblement (régime limite ou mixte quasi-
limite), puis plus résolument en régime mixte franc, jusqu’à
la limite du HD ; A décroît évidemment. À un certain stade,
la bande commence à patiner (G < 0). Le frottement suit la
courbe de Stribeck qui montre la succession des trois
régimes.
croissants (augmentation de h et diminution de A), mais
t
il sont insuffisants pour expliquer la division par 2,5 de µ :
il faut aussi supposer que m diminue, pratiquement dans les
a
mêmes proportions. Une telle diminution du frottement local
témoigne certainement d’une composante hydrodynamique
croissante, y compris sur les plateaux (régime micro-HD),
une des faiblesses de notre modèle qui y suppose un
contact sec, donc indépendant de la vitesse et des proprié-
tés du lubrifiant.
Application à l’interprétation
d’essais de laminage
On a repris des essais de laminage réalisés par le passé au
Centre de Recherches de Voreppe (26). Le frottement avait
été mesuré en ajustant traction et contre-traction pour se
placer juste à la limite de patinage : on peut alors, avec une
très bonne précision, déduire le coefficient de frottement de
Coulomb moyen, dans ces conditions très légèrement per-
turbées, par :
■
DISCUSSION
L’intérêt d’un tel modèle tribologique à variables internes
A, h ) et de son couplage avec un modèle sophistiqué de
(
t
laminage réside dans sa capacité à prédire le frottement,
exclusivement à partir de données physiques mesurables.
On a ainsi une source de connaissance et de compréhen-
sion du procédé (voir l’article de Montmitonnet, Deneuville,
Gratacos, Hauret et Laugier dans ce numéro) pour analyser,
comme (8), l’effet sur l’épaisseur de lubrifiant des élasticités
[
17]
(
Clam est le couple vrai par cylindre, F
la force de lamina-
lam
(*)
ge vraie , Rcyl le rayon des cylindres). C’est ce coefficient
moyen qui est reporté en fonction de la vitesse figure 5
(
points expérimentaux, axe de gauche), pour deux condi-
(*) Ne pas oublier d’ôter du couple les pertes par frottement dans
les paliers, et de la force les frottements sur les montants de la
cage.
tions de lubrification correspondant à deux températures
d’arrosage d’huile. Nous avons repris les résultats expéri-
Figure 5 – Interprétation
d’essais de laminage en
laboratoire (Centre de
Recherches de Voreppe (26)).
Le coefficient de Coulomb
–
moyen µ (points, échelle de
gauche) est déduit des
mesures par [17]. Le coefficient
de frottement local de Tresca
m (courbes,échelle de droite)
a
est obtenu par ajustement du
présent modèle.
Figure 5 – Analysis of
laboratory rolling tests (Centre
de Recherches de Voreppe
(
26)). Average Coulomb friction
coefficient µ (symbols, left
–
scale) is deduced from [17].
The local Tresca friction
coefficient m (curves, right
a
scale) is obtained by fitting
experiments with the present
model.
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux
Mai 2001
431

lubrification en laminage
de la bande et du cylindre (trouvée plus faible en mixte qu’en
HD), ou comme (21) des tensions de bande, ou encore de
la gamme de laminage (réduction, vitesse), du rayon des
cylindres, de leur rugosité et de celle de la bande, de la vis-
cosité du lubrifiant (20).
Il resterait à trouver comment on pourrait estimer une pro-
portion de ces diverses catégories de plateaux afin de géné-
raliser [9] sous la forme suivante :
[
18]
On notera cependant une limite à ces capacités prédictives,
comme on l’a vu ci-dessus : la nécessité de choisir le frotte-
Un autre mécanisme serait à considérer. Lorsque se sont
formés en début d’emprise des plateaux « secs », le rap-
prochement progressif de p et p peut permettre la relubri-
ment sur les plateaux m , paramètre d’ajustement. Peut-on
a
a
b
faire un choix physiquement argumenté ? Les travaux pré-
sentés dans les autres articles de ce numéro ou du numéro
de février (n° 2) de cette même revue peuvent y aider :
fication de ces plateaux. De même en régime très peu lubri-
fié (en dessous du seuil de percolation), où le lubrifiant est
emprisonné dans des poches séparées les unes des autres
(régime « poches - plateaux » hydrostatique plutôt que « val-
lées - plateaux » HD), on sait que la déformation plastique
macroscopique peut favoriser l’expulsion du lubrifiant des
poches qui va nécessairement relubrifier les vallées (28).
•
Si on suppose les « plateaux secs », i.e. éventuellement
couverts de leurs seuls films tribochimiques, on peut pres-
sentir quels films seront présents d’après la composition du
lubrifiant et quel frottement leur correspond en utilisant les
mesures sous lubrification gazeuse de Boehm et al. (n° 2).
D’autre part, la formulation thermique est un peu sommaire.
Outre que l’on n’a pas couplé thermique et équation de
Reynolds, Plassart et al. (n° 2) ont montré, sur la base
d’expertises métallurgiques, que l’échauffement de surface
pouvait être très supérieur à cette estimation, en raison des
déformations extrêmes liées aux interactions microplas-
tiques. Les conséquences de ce surcroît de chaleur se
feraient sentir tant sur la composante fluide de la lubrification
•
Si, comme dans l’exemple précédent, on soupçonne qu’un
film µ-HD se glisse sur les plateaux, il est clair qu’il faudrait,
idéalement, passer à une approche bi-échelle comme pré-
senté par Letalleur, Meurisse et Bayada dans ce numéro.
Ces auteurs donnent aussi les ordres de grandeur de coef-
ficient de frottement en lubrification fluide par un film ultra-
mince.
(par une baisse de la viscosité) que sur la tribochimie, évi-
demment très sensible à la température des parois solides.
Une hypothèse de base, la siccité des plateaux, est en effet
discutable. Johnson et Sutcliffe (17) explicitent l’épaisseur
qui reste sur un plateau en formation dans la zone d’entrée
au moment du contact aspérités - cylindre. Un écoulement
transverse (des zones les plus minces du film alors continu
vers les plus épaisses) crée une différence de pression pla-
teau - vallée p -p suffisante pour commencer d’écraser le
L’enrichissement de la physique du modèle à l’aide de ces
concepts n’est pas la seule voie à explorer. Le modèle reste
lourd, de convergence difficile en raison des boucles imbri-
quées, de maniement difficile. Peut-être le remplacement de
l’intégration pas-à-pas d’une ODE par la méthode de Runge -
Kutta, par une méthode de différences finies comme (21) ou
comme celle de Letalleur et al. dans ce numéro, avec une
condition correcte de sortie (cavitation), améliorerait-elle la
situation ?
a
b
plateau [11a]. Le « contact » initial du plateau avec le
cylindre se ferait via ce précurseur de film µ-HD (sauf si le
plateau, de largeur nul, est en fait une crête aiguë : le film
µ-HD est alors d’épaisseur nulle). Par la suite, lorsque com-
mence la déformation plastique macroscopique (E > 0) et
que la « dureté des aspérités » H (=p -p ) s’écroule, le
Quant au modèle « total » qui couplerait, à l’échelle locale,
une équation de Reynolds 2D avec un ensemble de pla-
teaux (de géométries différentes pour obtenir les divers
types de conditions évoquées ci-dessus) en déformation
plastique couplée avec la déformation plastique macrosco-
pique, il reste, nous semble-t-il, une lointaine utopie.
a
a
b
moteur de l’écoulement transverse s’affaiblit, ce qui peut
laisser subsister ce film µ-HD. Il doit cependant s’amincir
progressivement : subsistant dans certains cas pour donner
un régime à dominante µ-HD, trop atténué dans d’autres
pour éviter que les plateaux soient en régime limite, voire
secs. La persistance du film µ-HD et de son débit de fuite
latérale (vers les vallées) maintiendrait p -p > 0, même en
■
CONCLUSION
a
b
Un modèle de lubrification en régime mixte a été couplé à un
modèle de laminage. Les bases physiques et les développe-
ments numériques en ont été décrits. Il permet une approche
locale et semi-prédictive du frottement (il resterait à modéli-
ser le frottement sur les plateaux). On peut s’en servir pour
étudier l’influence de pratiquement tous les paramètres pro-
cédé ou matériau du laminage ; des applications industrielles
en ont déjà été faites (voir l’article de Montmitonnet,
Deneuville, Gratacos, Hauret et Laugier dans ce numéro). La
complexité des situations envisagées a nécessité des hypo-
thèses, dont certaines fortes, ce qui fait que les résultats sont
surtout des tendances semi-quantitatives. Des pistes sont
suggérées tant pour enrichir la physique du modèle que pour
améliorer sa résolution numérique.
régime « haute vitesse » très lubrifié (voir Letalleur et al.),
contrairement à l’hypothèse que nous avons dû faire ; celle-
ci représenterait certainement mieux les plateaux secs ou
limites.
En réalité, il est probable que les deux types de plateaux co-
existent dans une emprise donnée. On peut même y ajouter
des plateaux en régime « µ-mixte » où, séparant des « µ-
vallées », se trouvent des « µ-plateaux » formés par écra-
sement d’une rugosité de plus fine échelle qui, comme le
montre Sutcliffe (27), résiste plus longtemps à l’écrasement
que la rugosité d’échelle supérieure.
432
La Revue de Métallurgie-CIT/Science et Génie des Matériaux Mai 2001

lubrification en laminage
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